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[박형주의 세상 속 수학] 인간, 혼돈을 다루다

[박형주의 세상 속 수학] 인간, 혼돈을 다루다

입력 2017-06-13 17:56
업데이트 2017-06-13 18:02
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박형주 아주대 석좌교수
박형주 아주대 석좌교수
사주나 별자리 운세처럼 태어난 시각을 따져서 사람의 미래를 예측하는 방식은 동서양을 막론하고 그 역사가 길다. 정말 과거와 현재가 정해지면 미래는 그에 따라 정해지는 걸까.

고전물리학의 ‘결정론’ 관점에서는 움직이는 물체의 초기 조건과 그 위에 작용하는 힘을 알면 미래에 어디에서 어떤 속도로 움직이고 있을지 완벽히 알 수 있다. 그래서 20세기에 양자역학이 출현하면서 나온 불확정성의 개념은 아인슈타인 같은 대가조차도 혼란에 빠뜨렸다. ‘신은 주사위 놀음을 하지 않는다’는 유명한 말은 이 혼란을 표현한다.

혼돈이론(chaos theory)은 아주 달라서 고전적인 결정론과 대립하지 않는다. 시작의 미미한 차이가 결과의 작은 차이로 귀결된다는 오랜 통념은 오해라고 말한다. 이런 혼돈계는 쉽게 만들 수 있다. 유리로 만든 축구공 4개를 탁자 위에 옹기종기 모아 둔다. 레이저 포인터로 빛을 공 하나에 쏜다. 빛은 이 공 저 공에 반사되며 궤적을 만드는 데 대개는 반사를 거듭하다 밖으로 사라진다. 하지만 아주 드물게 빛은 공 사이에서 반사를 거듭하며 영원히 공 네 개 사이에 잡혀 있기도 한다. 수학 계산으로 그런 특이한 출발점을 미리 알아낼 수도 있다. 그러니까 그 특별한 지점에서 빛을 쏘면 빛은 무한히 반사를 거듭하며 제한된 공간에 머무른다.

이제 포인터를 아주 조금 움직인다. 그럼 반사의 경로가 바뀌어서 빛의 궤적이 바뀐다. 빛의 출발 지점을 아주 미세하게 움직여도 빛의 궤적은 완전히 달라진다. 시작할 때의 미미한 차이가 종국에는 전혀 다른 결과를 만들어 내는 고전적인 혼돈계의 예다.

시간을 소재로 한 2004년 영화 ‘나비 효과’에서 불행했던 과거 때문에 고통받던 주인공은 우연히 시공간 이동의 통로를 발견하고 과거로 되돌아가 불행한 과거를 고쳐 나간다. 그러나 과거를 바꿀수록 더욱 충격적인 현실이 그를 기다리고 현재는 예상치 못한 파국으로 치닫는다. 하나를 조금 바꾸면 모든 것이 바뀐다는 메시지랄까. 영화 소개에는 ‘나비의 날갯짓이 지구 반대편에선 태풍을 일으킬 수도 있다’는 글이 등장해 영화 제목의 유래를 추측하게 한다. 처음에 어떤 선택을 했느냐에 따라 전혀 다른 인생을 살게 된다는 뜻이다.

나비효과라는 표현을 처음 사용한 것은 미국의 수학자이자 기상학자인 에드워드 로렌츠였다. 1961년에 컴퓨터로 방대한 수치 기상 계산을 하던 중 잠시 쉬려고 계산 결과를 출력했다. 휴식 뒤에 출력된 숫자를 입력하고 나머지 계산을 했다. 얼마 뒤에 같은 계산을 중간 휴식 없이 다시 했는데 그 결과가 너무 달랐다. 입력이 같으면 결과도 같아야 하는데….

혼란에 빠진 그는 결국 휴식을 위해 잠시 계산을 멈추었을 때 0.506127이라는 출력 결과를 0.506이라고 기록한 게 문제였음을 발견했다. 이 두 숫자의 미미한 차이가 전혀 다른 결과를 만든 것이다. 1963년 논문에 이어 1972년 AAAS 강연에서 나비효과라는 표현으로 자신의 발견을 소개했다.

프랙털 이론에 등장하는 줄리아 집합은 시작할 때의 미미한 차이가 종국에는 전혀 다른 결과를 만들어 내는 구체적인 실례다. 만델브로는 정성적 묘사의 수준을 넘어서 복소 함수를 사용한 엄밀한 이론을 탄생시켰다. 불규칙과 무질서가 자연의 본질에 더 가깝다는 것을 보여 주는 혼돈이론이나 복잡계이론 같은 분야는 시작은 수학자의 사유에서 출발했지만, 사회과학과 정보통신에까지 큰 영향을 미치며 영역을 확대하는 중이다.

2017-06-14 30면

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